Что такое многоугольники

Свойства

Координаты

Пусть x C {\displaystyle x_{C}} и y C {\displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R {\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ 0 {\displaystyle {\phi }_{0}} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

x i = x C + R cos ⁡ ( ϕ 0 + 2 π i n ) {\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)} y i = y C + R sin ⁡ ( ϕ 0 + 2 π i n ) {\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i = 0 … n − 1 {\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R {\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r = R cos ⁡ π n {\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}} ,

а длина стороны многоугольника равна

a = 2 R sin ⁡ π n = 2 r t g π n {\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} и длиной стороны a {\displaystyle a} составляет:

S = n 4 a 2 ctg ⁡ π n {\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , вписанного в окружность радиуса R {\displaystyle R} , составляет:

S = n 2 R 2 sin ⁡ 2 π n {\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , описанного вокруг окружности радиуса r {\displaystyle r} , составляет:

S = n r 2 t g π n {\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}} (площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} равна

S = n r a 2 {\displaystyle S={\frac {nra}{2}}} ,

где r {\displaystyle r} — расстояние от середины стороны до центра, a {\displaystyle a} — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр ( P {\displaystyle P} ) и радиус вписанной окружности ( r {\displaystyle r} ) составляет:

S = 1 2 P r {\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr} .

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны a n {\displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L {\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

a n {\displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника. a n = sin ⁡ 180 n ⋅ L π {\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр P n {\displaystyle P_{n}} равен

P n = a n ⋅ n {\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n {\displaystyle n} — число сторон многоугольника.

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m — 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Что достигается построением многоугольника с s сторонами и многоугольника с r сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность, и чтобы одна вершина у них была общей. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2 m ⋅ p 1 k 1 ⋅ p 2 k 2 {\displaystyle 2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}} сторонами, где m — целое неотрицательное число, p 1 , p 2 {\displaystyle {p_{1}},{p_{2}}} — числа 3 и 5, а k 1 , k 2 {\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}} принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p s k s {\displaystyle 2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}}} , где k 0 {\displaystyle {k_{0}}} — целое неотрицательное число, k 1 , k 2 , … , k s {\displaystyle {k_{1}},{k_{2}},\dots ,{k_{s}}} принимают значения 0 или 1, а p j {\displaystyle {p_{j}}} — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

> См. также

  • Правильный многогранник

Варианты определений

Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников

  • Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с n {\displaystyle n} вершинами называется n {\displaystyle n} -угольником.

Многоугольник, вписанный в окружностьМногоугольник, описанный около окружности

  • Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
  • Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
  • Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
  • Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
  • Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
  • Сумма внутренних углов плоского n {\displaystyle n} -угольника без самопересечений равна ( n − 2 ) ⋅ 180 ∘ {\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }} .
  • Число диагоналей всякого n {\displaystyle n} -угольника равно n ⋅ ( n − 3 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}} .
  • Пусть { ( X i , Y i ) } , i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n {\displaystyle n} -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S = 1 2 | ∑ i = 1 n ( X i + X i + 1 ) ( Y i − Y i + 1 ) | {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|} , где ( X n + 1 , Y n + 1 ) = ( X 1 , Y 1 ) {\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})} .

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F {\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P {\displaystyle P} и Q {\displaystyle Q} , такие что P ⊂ F ⊂ Q {\displaystyle P\subset F\subset Q} и S ( Q ) − S ( P ) < ε {\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon } , где S ( P ) {\displaystyle S(P)} обозначает площадь P {\displaystyle P} .