Равнодействующая сил

Определение и общие понятия равнодействующей силы

В инерциальных системах отсчета изменение скорости тела возможно только при действии на него другого тела. Количественно действие одного тела на другое выражают при помощи такой физической величины, как сила (). Воздействие одного тела на другое может вызвать изменение скорости тела, как по величине, так и по направлению. Следовательно, сила является вектором и определяется не только величиной (модулем), но и направлением. Направление силы определяет направление вектора ускорения тела, на которое оказывает воздействие рассматриваемая сила.

Величину и направление силы определяет второй закон Ньютона:

где m – масса тела, на которое действует сила – ускорение, которое сила сообщает рассматриваемому телу. Смысл второго закона Ньютона заключен в том, что силы, которые действуют на тело, определяют как изменяется скорость тела, а не просто его скорость. Заметим, что второй закон Ньютона выполняется исключительно в инерциальных системах отсчета.

Если на тело действует одновременно несколько сил, то тело перемещается с ускорением, которое равно векторной сумме ускорений, которые появились бы при воздействии каждого из тел отдельно. Силы, оказывающие воздействие на тело и приложенные к его одной точке следует складывать в соответствии с правилом сложения векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторная сумма всех сил, действующих на тело одновременно, называется равнодействующей силой ():

Если на тело действуют несколько сил, то второй закон Ньютона записывается как:

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, может быть равна нулю, в том случае, если происходит взаимная компенсация сил, приложенных к телу. В таком случае тело движется с постоянной скоростью или находится в покое.

При изображении сил, действующих на тело, на чертеже, в случае равноускоренного перемещения тела, равнодействующую силу, направленную по ускорению следует изображать длиннее, чем противоположно ей направленную силу (сумму сил). В случае равномерного движения (или покоя) дина векторов сил, направленных в противоположные стороны одинакова.

Для нахождения равнодействующей силы, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Тело покоится на наклонной плоскости (рис.1), изобразите силы, которые действуют на тело, чему равна равнодействующая всех сил, приложенных к телу?
Решение Сделаем рисунок.

На тело, расположенное на наклонной плоскости действуют: сила тяжести (), сила нормальной реакции опоры () и сила трения покоя (по условию тело не движется) (). Равнодействующую всех сил действующих на тело () можно найти векторным суммированием:

Сложим сначала по правилу параллелограмма силы тяжести и силу реакции опоры, получим силу . Эта сила должна быть направлена вдоль наклонной плоскости по движению тела. По длине вектор должен быть равен вектору силы терния , так как тело по условию покоится. В соответствии со вторым законом Ньютона равнодействующая должна быть равна нулю:

Ответ Равнодействующая сила равна нулю.

ПРИМЕР 2

Задание Груз, подвешенный в воздухе на пружине, движется с постоянным ускорением, направленным вниз (рис.3), какие силы действуют на груз? Чему равна равнодействующая сил, приложенных к грузу? Куда будет направлена равнодействующая сила?
Решение Сделаем рисунок.

На груз, подвешенный, на пружине действуют: сила тяжести () со стороны Земли и сила упругости пружины () (со стороны пружины), при движении груза в воздухе, обычно силой трения груза о воздух пренебрегают. Равнодействующую сил, приложенных к грузу в нашей задаче, найдем как:

В соответствии со вторым законом Ньютона равнодействующая сила равна произведению масса тела на его ускорение:

Ответ Равнодействующая сила будет направлена по направлению вектора , то есть вниз.

Модули силы, равнодействующие силы, сумма внутренних углов параллелограмма.

Примеры ответов на контрольные вопросы и решения задач Рассмотрим несколько типичных вопросов и задач, которые могут быть решены с помощью методов, изложенных в данном Задании. Вопрос 1. Какими видами механического движения одновременно обладает гайка, навинчиваемая на неподвижный болт или винт? Ответ. Гайка участвует одновременно в двух движениях — поступательном (вдоль оси болта) и вращательном (вокруг оси болта). Вопрос 2. В чём заключается разница между проекциями вектора на два различных направления и составляющими вектора по этим же направлениям? Ответ. Основная разница заключается в том, что проекции вектора — это числа, а составляющие вектора — это векторы. Модули проекций и составляющих векторов могут быть одинаковыми, как например, в случае, когда направления перпендикулярны. Вопрос 3. Па точку О действуют две равные по модулю силы F{ и F2, направленные под углом 120 друг к другу. Чему равен модуль равнодействующей этих сил? Ответ. Модуль равнодействующей равен модулю этих сил. Действительно, равнодействующую F найдём, сложив векторы сил F{ и F, (например, по правилу параллелограмма). Пояснительный чертёж представлен на рис. 32. Сумма внутренних углов параллелограмма равна 360 . Значит, в параллелограмме ЛВСО углы ОАВ и ОС В равны по 60 . Кроме того, параллелограмм АВСО является ромбом, т. к. длины его сторон (модули Т7, и /\ ) равны. Рассмотрим, например, треугольник ЛОВ. В нём АО = АВ, а угол ОАВ равен 60 , следовательно, углы АОВ и АВО одинаковы и по величине равны 60 ((l80 -60 )/2 = 60 Таким образом, треугольник Модули силы, равнодействующие силы, сумма внутренних углов параллелограмма АОВ — равносторонний и . Задача 1. Эквивалентно замените силу F = 0,6H, приложенную в точке А, двумя силами, действующими на ту же точку вдоль той же прямой, но в противоположные стороны. Меньшая из этих сил равна 1,1 II. Каким должен быть модуль второй силы? Решение. Модуль второй силы (большей из двух) должен быть равен 1,7 11. Поясняющий чертёж представлен на рис. 33. Действительно, силы F{ и F, в сумме дают равнодействующую силу F , то есть F = Fi + F2. Направление и модуль F определяются в соответствии с Замечанием 1 на стр. 6 в тексте Задания. Модуль F равен F = F2-F^ значит F2 = F + Fi = 1,7 Н. Задача 2. Разложите вектор силы F на два составляющих вектора, один из которых направлен под углом 60 к вектору F , а другой — под углом 45 к вектору F. Найдите модули составляющих векторов, считая известным модуль вектора F . Модули силы, равнодействующие силы, сумма внутренних углов параллелограмма Решение. Разложение вектора F на составляющие Z7, и F2 вдоль указанных в условии задачи направлений представлено на рис. 34. Из треугольника ОАВ по теореме косинусов Из треугольника OB С по теореме косинусов Кроме того, по теореме синусов, применённой к любому из указанных треугольников, получим: Подставим (3) в уравнения (1) и (2), сгруппируем все члены в правых частях полученных уравнений и учтём, что cos60 = —, cos45 =-. В итоге получим Сложив уравнения (4) и (5), получим Поскольку F * 0, то разделив обе части на F, получим F2 = С учётом уравнения (3) определим Ответ в данной задаче может быть записан в другом виде, а именно: Оба варианта записи значений /Г, и Fx эквивалентны. Убедитесь в этом самостоятельно. Задача 3. На двух гвоздях, вбитых в стену в точках А и В (рис. 35), подвешена лёгкая нерастяжимая верёвка. Расстояние между гвоздями по горизонтали Ь = >/Зм»1,73м; разность высот, на которых вбиты гвозди, а = 1м; длина верёвки равна а + Ь. К верёвке на расстоянии а от точки А подвешивают груз, который не касается стены. Найдите отношение сил натяжения верёвки слева и справа от груза, если их векторная сумма направлена вертикально вверх. (МГУ). Решение. Поясняющий чертёж представлен на рис. 36, где через F{ и F, обозначены силы натяжения верёвки слева и справа от груза соответственно, а через F обозначена их векторная сумма, направленная по условию задачи вертикально вверх. В ААКВ сторона АК равна b , а сторона KB = а — по условию. Пусть угол ВАК равен а, тогда tgа = — = . Следовательно, а = 30°. В треугольнике АСВ сторона АС равна а по условию. Следовательно, С В = b, так как длина верёвки равна а + Видим, что треугольники АКВ и АСВ равны по трём сторонам (сторона АВ у них общая) и ААСВ- прямоугольный. Тогда угол ABC также равен а = 30′, так как Отсюда следует, что угол ВАС равен 60 . Значит, угол КАС, обозначенный на рис. 36 через р , равен 30 . Действительно, Р =ZBAC- а = 60°- 30 = 30°. Тогда по теореме об углах со взаимно перпендикулярными сторонами угол между векторами F и F, на рис. 36 тоже равен р = 30 , и из заштрихованного треугольника находим: Задача 4. В безветренную погоду капли дождя падают вертикально с постоянной скоростью. При скорости бокового ветра 10м/с капли дождя падают под углом 30 к вертикали. При какой скорости бокового ветра капли дождя будут падать под углом 45 к вертикали? Ветер дует горизонтально. Решение. Пусть v — скорость капель дождя в безветренную погоду (скорость относительно ветра), /7, — скорость ветра в первом случае (по условию w, = 10 м/с), г\ — скорость капель дождя относительно земли в первом случае, направленная под углом а = 30° к вертикали (при скорости бокового ветра щ), и, — скорость ветра во втором случае, v2 -скорость капель дождя относительно земли во втором случае, направленная под углом р = 45 к вертикали (при скорости бокового ветра и2). Поясняющий чертёж представлен на рис. 37, с помощью которого лег- ко определяем, что с одной стороны V—, а с другой — v =-. От- . Тогда находим сюда следует, что Модули силы, равнодействующие силы, сумма внутренних углов параллелограмма Задача 5. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь спортивный самолёт, чтобы за 2 часа пролететь точно на север 200 км , если во время полёта дует северо-восточный ветер под углом 60 к меридиану со скоростью 30км/час. Решение. Пусть и — скорость ветра, V — искомая скорость самолёта (относительно воздуха), г), — суммарная скорость 1>,=200км/2ч = 100 км/ч. Поясняющий чертёж представлен на рис. 38. Из треугольника ЛВС по теореме косинусов находим: Направление скорости V определим, например, через угол р по отношению к меридиану. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники BDC и ADC. В треугольнике BDC видим, что ВС —и, DC = и sin 60°. Из треугольника ADC находим DC = vs\x\p. Таким образом, и sin60° = v sin р. Откуда sin p =—=-» 0,22 . При этом 2 v 236 сам угол р » 12 43′. Контрольные вопросы 1. Что называют механическим движением? 2. Какими видами механического движения обладает пропеллер вертолёта при вертикальном взлёте последнего с поверхности земли? 3. В результате чего может изменяться скорость тела в процессе движения? 4. Какие силы изучаются в механике? 5. Какие физические величины называются скалярными, а какие — векторными? Приведите примеры тех и других. Рис. 39а Рис. 396 Рис. 40а Рис. 406 6. С помощью чертежа разложите вектор F па составляющие по заданным направлениям (рис. 39 а, б). 7. У вектора F известна одна из составляющих F, (рис. 40 а, б). С помощью чертежа найдите вторую составляющую F2. 8. Даны два вектора: а = 7/ + 3 j и b =5/ -8j. Найдите вектор е их суммы. Чему равен модуль вектора суммы? 9. Даны два вектора: с=3/ + 2,5у и d-i -7, 5j. Какой угол составляет вектор / = с— d с направлением орта / ? 10. Что называют скалярным произведением двух ненулевых векторов? 11. Чему равен угол а между векторами ё = а + Ь и f -с-d из условий контрольных вопросов №8 и №9 соответственно? Задачи 1. Скорость движения парохода относительно берега по течению реки равна v{ =6м/с, а против течения — v2 =4 м/с. Определите скорость парохода относительно воды и скорость течения реки. 2. Самолёт взлетает с аэродрома со скоростью v = 220 км/ч под углом а- 20 к горизонту. Найдите модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости самолёта. 3. Автомобиль движется по прямолинейной дороге на север со скоростью v = 20 м/с. Пассажиру вертолёта, пролетающего над автомобилем, кажется, что автомобиль движется на запад со скоростью и = 20 м/с. Определите по этим данным модуль и направление скорости вертолёта относительно земли. Катер, переправляясь с одного берега реки на другой, движется из пункта А в пункт В всё время вдоль прямой ЛВ (рис. 41). Скорость течения реки равна и — 2 м/с, скорость катера относительно воды V = 5 м/с . Чему равна скорость катера относительно берега, если линия ЛВ составляет с направлением течения угол а — 120 ? 5. Чему равна и куда направлена равнодействующая трёх сил, приложенных к телу в точке А и действующих вдоль одной прямой (рис. 42). Модули сил указаны на рисунке. 6. На рис. 43 изображены четыре силы, действующие на тело. Силы приложены в одной точке и лежат в одной плоскости. Их модули и направления указаны на рисунке. Определите модуль и направление равнодействующей этих сил. 7. Три силы Fx, F2 и F3 приложены к телу в точке В и лежат в одной плоскости (рис. 44). Направления сил F2 и F3 составляют соответственно углы 90 и 60 с прямой, вдоль которой направлена сила Fr Модули силы, равнодействующие силы, сумма внутренних углов параллелограмма Найдите модуль и направление равнодействующей сил Fr /\ и F3. Модули и направления сил указаны на рисунке. 8. Электрическая лампа, подвешенная к потолку на шнуре АВ и оттянутая в сторону к стене горизонтальной оттяжкой ВС, действует на точку В подвеса с силой /Г = 10Н, направленной вертикально вниз (рис. 45). Определите силы, с которыми лампа действует на трос и на оттяжку, если угол а = 30 .